Построение плоскости перпендикулярной к прямой.

Прямой АВ параллельна оси проекций ОХ, искомая плоскость будет горизонтально-проектирующей – во фронтальной плоскости след плоскости Р будет перпендикулярным оси ОХ.

Поэтому построить надо только горизонтальный след плоскости Р, проходящий через вертикальную проекцию точки С и перпендикулярный вертикальной проекции прямой АВ.

Горизонтальный след плоскости Р – перпендикуляр из точки пересечения вертикального следа плоскости Р с осью проекций.

Исходная статья

Литература

Х. А. Арустамов «Сборник задач по начертательной геометрии», М., 1971 г.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Построение плоскости перпендикулярной к прямой" в других словарях:

Дано. Прямая АВ и точка С. Требуется. Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ. Решение. Поскольку и горизонтальная и вертикальная проекции прямой АВ перпендикулярны оси проекций ОХ, любая плоскость со следами… … Википедия

Перпендикулярность бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и. т. д.) в евклидовом пространстве. Частный случай ортогональности. Содержание 1 Перпендикулярность прямых на плоскости … Википедия

Содержание: 1) Основные понятия. 2) Teopия Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… …

Содержание: 1) Основные понятия. 2) Теория Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ГОСТ 22268-76: Геодезия. Термины и определения - Терминология ГОСТ 22268 76: Геодезия. Термины и определения оригинал документа: 114. Абрис Ндп. Кроки D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Outline Field sketch F. Croquis Схематический чертеж участка местности Определения термина из разных документов … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.… … Большая советская энциклопедия

МИКРОСКОП - (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия

Прозрачный кристалл минерала, называемого исландским шпатом (известковый шпат, кальцит), будучи положен на рисунок или чертеж, показывает их линии раздвоенными. Покрывая одну грань такого кристалла непрозрачной пластинкой, в которой сделан… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Содержание: 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Содержание. 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Не будет преувеличением утверждать, что построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей наряду с определением расстояния между двумя точками являются основными графическими операциями при решении метрических задач.

Теоретической предпосылкой для построения на эпюре Монжа проекций прямых и плоскостей, перпендикулярных по отношению друг к другу в пространстве, служит отмеченное раньше (см. § 6) свойство

проекции прямого угла, одна из сторон которого параллельна какой-либо плоскости проекции:

1. Взаимно перпендикулярные прямые.

Чтобы можно было воспользоваться отмеченным свойством для построения на эпюре Монжа двух пересекающихся под углом 90° прямых, необходимо, чтобы одна из них была параллельна какой-либо плоскости проекции. Поясним сказанное на примерах.

ПРИМЕР 1. Через точку А провести прямую l, пересекающую горизонталь h под прямым углом (рис. 249).

Так как одна из сторон h прямого угла параллельна плоскости π 1 , то на эту плоскость прямой угол спроецируется без искажения. Поэтому через А" проводим горизонтальную проекцию l" ⊥ h". Отмечаем точку М" = l" ∩ h". Находим М" (М" ∈ h"). Точки А" и М" определяют l" (см. рис. 249, а).

Если вместо горизонтали будет задана фронталь f, то геометрические построения по проведению прямой l ⊥ f аналогичны только что рассмотренным с той лишь разницей, что построения неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции (см. рис. 249, б).

ПРИМЕР 2. Через точку А провести прямую l , пересекающую прямую а, заданную отрезком [ВС], под углом 90° (рис. 250).

Так как данный отрезок занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций, мы не можем, как в предыдущем примере, воспользоваться свойством о частном случае проецирования прямого угла, поэтому вначале необходимо [ВС] перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции.

На рис. 250 [ВС] переведен в положение, параллельное плоскости π 3 . Это сделано с помощью способа замены плоскостей проекции путем замены плоскости π 1 → π 3 || [ВС].

В результате такой замены в новой системе x 1 π 2 /π 3 [ВС] определяет горизонтальную прямую, поэтому все дальнейшие простроения выполнены так же, как это было сделано в предыдущем примере: после того, как была найдена точка М" 1 , ее перевели на исходные плоскости проекции в положение М" и М", эти точки совместно с А" и А" определяют проекции прямой l.

ПРИМЕР 3. Провести горизонтальную проекцию стороны [ВС] прямого угла АВС, если известны его фронтальная проекция ∠A"B"C" и горйзонтапьная проекция стороны [А"В"] (рис. 251).

1. Переводим сторону угла [ВА] в положение || π 3 путем перехода от системы плоскостей проекции хπ 2 /π 1 к новой x 1 π 3 /π 2

2. Определяем новую фронтальную проекцию .

Из В" 1 восставляем перпендикуляр к [В" 1 A" 1 ]. На этом перпендикуляре определяем точку С" 1 (С" 1 удалена от оси x 1 на расстояние |С x 1 С" 1 | = |С x С"|).

4. Горизонтальная проекция С" определяется как точка пересечения прямых (С" 1 С x 1) ∩ (С"С x) = С".

2. Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость.

Из курса стереометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна хотя бы к двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а ее горизонталь и фронталь, то открывается возможность воспользоваться свойством проекции прямого угла, как это было сделано в примере 1, рис. 249.

Рассмотрим следующий пример; пусть из точки A ∈ α требуется восставить перпендикуляр к плоскости α (рис. 252).

Через точку А проводим горизонталь h и фронталь f плоскости α. Тогда, по определению (АВ), перпендикулярная к плоскости α, должна быть перпендикулярна к прямым h и f, т. е. . Но сторона AM ∠ ВАМ || π 1 , поэтому ∠ВАМ проецируется на плоскость π 1 , без искажения, т. е.. Сторона АК ∠ ВАК || π 2 и, следовательно, на плоскость π 2 этот угол проецируется также без искажения, т. е. и . Приведенные рассуждения можно сформулировать в виде следующей теоремы: для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на эпюре горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Если плоскость задана следами, то теорема может быть сформулирована иначе: для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы проекции этой прямой были перпендикулярны к одноименным следам плоскости.

Установленные теоремой зависимости между прямой в пространстве, перпендикулярной к плоскости, и проекциями этой прямой к проекциям линий уровня (следам) плоскости лежат в основе графического алгоритма решения задачи по проведению прямой, перпендикулярной к плоскости, а также построения плоскости, перпендикулярной к заданной прямой.

ПРИМЕР 1. Восставить в вершине А перпендикуляр AD к плоскости ΔАВС (рис. 253).

Для того чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали h и фронтали f плоскости ΔАВС. После этого из точки А" восставляем перпендикуляр к h", а из А" - к f".

ПРИМЕР 2. Из точки А, принадлежащей плоскости α (m || n), восставить перпендикуляр к этой плоскости (рис. 254).

РЕШЕНИЕ. Для определения направления проекций перпендикуляра l" и l", как и в предыдущем примере, проводим через точку А (А",А") горизонталь h(h", h"), принадлежащую плоскости α. Зная направление h", строим горизонтальную проекцию перпендикуляра l" (l" ⊥ h"). Для определения направления фронтальной проекции перпендикуляра через точку А (А", А") проводим фронталь f (f", f") плоскости α. В силу параллельности f фронтальной плоскости проекции прямой угол между l и f проецируется на π 2 без искажения, поэтому проводим l" ⊥ f".

На рис. 255 эта же задача решена для случая, когда плоскость α задана следами. Для определения направлений проекций перпендикуляра отпадает необходимость в проведении горизонтали и фрон-

тали, так как их функции выполняют следы плоскости h 0α и f 0α . Как видно из чертежа, решение сводится к проведению через точки А" и А" проекций l" ⊥ h 0α и l" ⊥ f 0α .

ПРИМЕР 3. Построить плоскость γ, перпендикулярную к данной прямой l и проходящую через заданную точку А (рис. 256).

РЕШЕНИЕ. Через точку А проводим горизонталь h и фронталь f. Эти две пересекающиеся прямые определяют плоскость; чтобы она была перпендикулярна к прямой l, необходимо, чтобы прямые h и f составляли с прямой l угол 90°. Для этого проводим h" ⊥ l" и f" ⊥ l". Фронтальная проекция h" и горизонтальная проекция f" проводятся параллельно оси x.

Рассмотренный случай позволяет по иному решать задачу, приведенную в примере 3 (с. 175 рис. 251). Сторона [ВС] ∠АВС должна принадлежать плоскости γ ⊥ [АВ] и проходить через точку В (рис. 257).

Это условие и определяет ход решения задачи, который состоит в следующем: заключаем точку В в плоскость γ ⊥ [АВ], для этого через точку В проводим горизонталь и фронталь плоскости γ так, чтобы h" ⊥ A"B" и f" ⊥ A"B".

Точка С ∈ (ВС), принадлежащей плоскости γ, поэтому для нахождения ее горизонтальной проекции проводим через С" произвольную прямую 1"2", принадлежащую плоскости γ; определяем горизонтальную проекцию этой прямой 1"2" и на ней отмечаем точку С" (С" определяется пересечением линии связи - перпендикуляра, опущенного из С", с горизонтальной проекцией прямой 1"2"). С" совместно с В" определяют горизонтальную проекцию (ВС) ⊥ (АВ).

3. Взаимно перпендикулярные плоскости..

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости .

Исходя из определения перпендикулярности плоскостей, задачу на построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости α, решаем следующим путем: проводим прямую l, перпендикулярную к плоскости α; заключаем прямую l в плоскость β. Плоскость β ⊥ α, так как β ⊃ l ⊥ α.

Через прямую l можно провести множество плоскостей, поэтому задача имеет множество решений. Чтобы конкретизировать ответ, необходимо указать дополнительные условия.

ПРИМЕР 1. Через данную прямую а провести плоскость β, перпендикулярную к плоскости α (рис. 258).

РЕШЕНИЕ. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости α, для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали (h") и фронтальную проекцию фронтали (f") ; из проекций произвольной точки А ∈ α проводим проекции перпендикуляра l" ⊥ h" и l" ⊥ f". Плоскость β ⊥ α, так как β ⊃ l ⊥ α.

ПРИМЕР 2. Через данную точку А провести горизонтально проецирующую плоскость γ, перпендикулярную к плоскости α, заданной следами (рис. 259, а).

Искомая плоскость γ должна содержать прямую, перпендикулярную плоскости α, или быть перпендикулярной к прямой, принадлежащей плоскости α. Так как плоскость γ должна быть горизонтально проецирующей, то прямая, перпендикулярная к ней, должна быть параллельна плоскости π 1 , т. е. являться горизонталью плоскости α или (что то же самое) горизонтальным следом этой плоскости - h 0α Поэтому через горизок тальную проекцию точки А" проводим горизонтальный след h 0γ ⊥ h 0α фронтальный след f 0γ ⊥ оси х.

На рис. 259, б показана фронтально проецирующая плоскость γ, проходящая через точку В и перпендикулярная к плоскости π 2 .

Из чертежа видно, что отличительной особенностью эпюра, на котором заданы две взаимно перпендикулярные плоскости, из которых одна - фронтально проецирующая, является перпендикулярность их фронтальных следов f 0γ ⊥ f 0α , горизонтальный след фронтально проецирующей плоскости перпендикулярен оси х.

Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей является важной графической операцией при решении метрических задач.

Построение перпендикуляра к прямой или плоскости основывается на свойстве прямого угла, которое формулируется следующим образом: если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то угол проецируется в натуральную величину на эту плоскость.

Рисунок 28

Сторона ВС прямого угла АВС, изображенного на рисунке 28, параллельна плоскости П 1 . Следовательно, проекция угла АВС на эту плоскость будет представлять прямой угол А 1 В 1 С 1 =90.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. При построении перпендикуляра из множества прямых принадлежащих плоскости, выбирают прямые уровня - горизонталь и фронталь. В этом случае горизонтальную проекцию перпендикуляра проводят перпендикулярно горизонтали, а фронтальную -перпендикулярно фронтали. На примере, изображенном на рисунке 29, показано построение перпендикуляра к плоскости, заданной треугольником АВС, из точки К. Для этого сначала проводим горизонталь и фронталь в плоскости. Затем из фронтальной проекции точки К проводим перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали, а из горизонтальной проекции точки - перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали. Затем строим точку пересечения данного перпендикуляра с плоскостью при помощи вспомогательной секущей плоскости Σ. Искомая точка - F. Таким образом, полученный отрезок КF является перпендикуляром к плоскости АВС.

Рисунок 29

На рисунке 29 изображено построение перпендикуляра КF к плоскости АВС.

Две плоскости перпендикулярны, если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна двум пересекающимся прямым другой плоскости. Построение плоскости перпендикулярной данной плоскости АВС показано на рисунке 30. Через точку М проводится прямая МN, перпендикулярная плоскости АВС. Горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна АС, так как АС является горизонталью, а фронтальная проекция перпендикулярна АВ, так как АВ - фронталь. Затем через точку М проводится произвольная прямая EF. Таким образом, плоскость перпендикулярна АВС и задана двумя пересекающимися прямыми EF и MN.

Рисунок 30

Этот способ применяется для определения натуральных величин отрезков общего положения, а также углов наклона их к плоскостям проекций. Для того, чтобы определить натуральную величину отрезка этим способом, необходимо достроить прямоугольный треугольник к одной из проекций отрезка. Другим катетом будет являться разность высот или глубин конечных точек отрезка, а гипотенуза - натуральной величиной.

Рассмотрим пример: на рисунке 31 дан отрезок АВ общего положения. Требуется определить его натуральную величину и углы его наклона к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций.

Проводим перпендикуляр к одному из концов отрезка на горизонтальной плоскости. Откладываем на нем разность высот (ZA-ZB) концов отрезка и достраиваем прямоугольный треугольник. Гипотенуза его является натуральной величиной отрезка, а угол между натуральной величиной и проекцией отрезка - натуральной величиной угла наклона отрезка к плоскости П 1 . Порядок построений на фронтальной плоскости тот же самый. По перпендикуляру откладываем разность глубин концов отрезка (YA-YB). Полученный угол между натуральной величиной отрезка и его фронтальной проекцией - это угол наклона отрезка к плоскости П 2 .

Рисунок 31

1. Сформулируйте теорему о свойстве прямого угла.

2. В каком случае прямая перпендикулярна плоскости?

3. Сколько прямых и сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку пространства?

4. Для чего применяется способ прямоугольного треугольника?

5. Как при помощи этого способа определить угол наклона отрезка общего положения к горизонтальной плоскости проекций?

Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства проекций такой прямой.

На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, а AM - фронтальна этой плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к АN и к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и фронталь, как это показано на рис. 185).

Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.

Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости.

Итак, если в системе π 1 , π 2 горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей общего положения (рис. 186), а также горизонталъно- и фронталъно-проецирующих прямая перпендикулярна к плоскости . Но для профильно-проеци- рующей плоскости может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя

проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецйрующей плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить, будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость,

Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости через основание перпендикуляра.

На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. α (А"С"⊥ f" 0α , А"С"⊥h" 0α) и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает пл. α. Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. β, проведенной через перпендикуляр АЕ.

На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости, определяемой треугольником АВС. Перпендикуляр проведен через точку А.

Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями A"D" и A"D" и горизонталь А"Е", А"Е", Конечно, эти прямые не обязательно проводить именно через точку А.

Далее проведены проекции перпендикуляра: M"N"⊥A"D", M"N"⊥А"Е". Почему проекции на рис. 188 на участках A"N" и А"М" показаны штриховыми линиями? Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником АВС, а не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед плоскостью, частично за ней.

На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами. Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости: так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В"С", то и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В"С". Поэтому A"N"⊥В"С". Проекция A"N"||оси х, как это должно быть у горизонтали. Затем проведен через точку N"(N" - фронтальная проекция фронтального следа горизонтали AN) след f" 0α ⊥В"С", получена точка Х α и проведен след h" 0α ||A"N" (h" 0α ⊥В"С").

На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти прямые перпендикулярны к ВС (А"М"⊥В"С", A"N"⊥В"С"); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС.

Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой, проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно, можно наметить следую-щий план построения проекций искомой прямой:

1) через точку А провести плоскость (назовем ее γ), перпендикулярную к ВС;

2) определить точку К пересечения прямой ВС с пл. γ;

3) соединить точки А и К отрезком прямой линии.

Прямые АК и ВС взаимно перпендикулярны.

Пример построения дан на рис. 191. Через точку А проведена плоскость (γ), перпендикулярная к ВС. Это сделано при помощи фронтали, фронтальная проекция A"F" которой проведена перпендикулярно к фронтальной проекции В"С", и горизонтали, горизонтальная проекция которой перпендикулярна к В"С".

Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. γ. Для этого через прямую ВС проведена горизонтально-проецируюгцая плоскость β (на чертеже она задана только горизонтальным следом (β"). Пл. β пересекает пл. γ по прямой с проекциями 1"2" и 1"2". В пересечении этой прямой с прямой ВС получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС. Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. γ, перпендикулярной к прямой ВС; следовательно, АК⊥ВС.

В § 15 было показано (рис. 92), как можно провести перпендикуляр из точки на прямую. Но там это было выполнено при помощи введения в систему π 1 , π 2 дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы π 3 , π 1 , в которой пл. π 3 проводится параллельно заданной прямой. Рекомендуем сравнить построения, данные на рис. 92 и 191.

На рис. 192 изображены плоскость общего положения - α, проходящая через точку А, и перпендикуляр AM к этой плоркости, продолженный до пересечения с пл. π 1 в точке В".

Угол φ 1 между пл. α, и пл.π 1 и угол φ между прямой AM и пл. π 1 являются острыми углами прямоугольного треугольника В"AM", и, следовательно, φ 1 +φ=90°. Аналогично, если пл.α составляет с пл. π 2 угол σ 2 , а прямая AM, перпендикулярная к α, составляет с пл. π 2 угол σ, то σ 2 +σ=90°. Из этого, прежде всего, следует, что плоскость общего положения, которая должна составлять с пл.π 1 угол φ 1 , а с пл. π 2 угол σ 2 , может быть построена, лишь если 180° > φ 1 +σ 2 >90°.

Действительно, складывая почленно φ 1 + φ=90° и σ 2 +σ=90°, получим φ 1 +σ 2 +φ+σ=180°, т. е. φ 1 +σ 2 90°. Если взять φ 1 +σ 2 =90°, то получится профильно-проецирующая плоскость, а если взять φ 1 +σ 2 =180°, то получится профильная плоскость, т.е. в обоих этих случаях плоскость не общего положения, а частного.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости позволяет построить взаимно перпендикулярные прямую и плоскость, т. е. доказать существование таких прямых и плоскостей. Начнем с построения плоскости, перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку. Решим две задачи на построение, соответствующие двум возможностям в расположении данной точки и данной прямой.

Задача 1. Через данную точку А на данной прямой a провести плоскость, перпендикулярную этой прямой.

Проведем через прямую а любые две плоскости и в каждой их этих плоскостей через точку А проведем по прямой, перпендикулярной прямой а, обозначим их b и с (рис. 2.17). Плоскость а, проходящая через прямые бис, содержит точку А и перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Поэтому плоскость а искомая. Задача решена.

Задача имеет лишь одно (т.е. единственное) решение. Действительно, допустим противное. Тогда, кроме плоскости а через точку А проходит еще какая-нибудь плоскость Р, перпендикулярная прямой а (рис. 2.18). Возьмем в плоскости Р любую прямую , проходящую через точку А и не лежащую в плоскости а. Проведем плоскость у через пересекающиеся прямые а и . Плоскость у пересечет плоскость а по прямой q. Прямая q не совпадает с прямой , так как q лежит в а не лежит в а. Обе эти прямые лежат в плоскости у, проходят через точку А и перпендикулярны прямой а так как и аналогично так как и . Но это противоречит известной теореме планиметрии, согласно которой в плоскости через каждую точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная данной прямой.

Итак, предположив, что через точку А проходят две плоскости, перпендикулярные прямой а, мы пришли к противоречию. Поэтому задача имеет единственное решение.

Задача 2. Через данную точку А, не лежащую на данной прямой а, провести плоскость, перпендикулярную этой прямой.

Через точку А проводим прямую b, перпендикулярную прямой а. Пусть В - точка пересечения а и b. Через точку В проводим еще прямую с, перпендикулярную прямой а (рис. 2.19). Плоскость, проходящая через обе проведенные прямые, будет перпендикулярна а по признаку перпендикулярности (теорема 2).

Как и в задаче 1, построенная плоскость единственная. Действительно, возьмем любую плоскость, проходящую через точку А перпендикулярно прямой а. Такая плоскость содержит прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А. Но такая прямая только одна. Это прямая b, которая проходит через точку В. Значит, плоскость, проходящая через А и перпендикулярная прямой а, должна содержать точку В, а через точку В проходит лишь одна плоскость, перпендикулярная прямой а (задача 1). Итак, решив эти задачи на построение и доказав единственность их решений, мы доказали следующую важную теорему.

Теорема 3 (о плоскости, перпендикулярной прямой). Через каждую точку проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой, и притом только одна.

Следствие (о плоскости перпендикуляров). Прямые, перпендикулярные данной прямой в данной ее точке, лежат в одной плоскости и покрывают ее.

Пусть а - данная прямая и А - какая-либо ее точка. Через нее проходит плоскость. По определению перпендикулярности прямой и плоскости она покрыта

крыта прямыми, перпендикулярными прямой а в точке А, т.е. через каждую точку плоскости а в ней проходит прямая, перпендикулярная прямой а.

Допустим, что через точку А проходит прямая , не лежащая в плоскости а. Проведем через нее и прямую а плоскость Р. Плоскость Р пересечет а по некоторой прямой с (рис. 2.20). И так как то Получается, что через точку А в плоскости Р проходят две прямые b и с, перпендикулярные прямой а. Это невозможно. Значит, прямых, перпендикулярных прямой а в точке А и не лежащих в плоскости а, нет. Все они лежат в этой плоскости.

Пример к следствию теоремы 3 дают спицы в колесе, перпендикулярные его оси: при вращении они зачерчивают плоскость (точнее, круг), принимая все положения, перпендикулярные оси вращения.

Теоремы 2 и 3 помогают дать простое решение следующей задачи.

Задача 3. Через точку данной плоскости провести прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Пусть даны плоскость а и точка А в плоскости а. Проведем в плоскости а через точку А какую-либо прямую а. Через точку А проведем плоскость , перпендикулярную прямой а (задача 1). Плоскость пересечет плоскость а по некоторой прямой b (рис. 2.21). Проведем в плоскости Р через точку А прямую с, перпендикулярную прямой b. Так как (поскольку с лежит в плоскости

И ), то по теореме 2 . Единственность ее решения установлена в п. 2.1.

Замечание. О построениях в пространстве. Напомним, что в главе 1 мы изучаем "строительную геометрию". А в этом пункте мы решили три задачи на построение в пространстве. Что же понимают в стереометрии под терминами "построить”, "провести", "вписать" и т.п.? Сначала вспомним о построениях на плоскости. Указав, например, как строить окружность, описанную около треугольника, мы тем самым доказываем ее существование. Вообще, решая задачу на построение, мы доказываем теорему существования фигуры с заданными свойствами. Это решение сводится к составлению некоторого алгоритма построения искомой фигуры, т.е. к указанию последовательности выполнения простейших операций, приводящих к необходимому результату. Простейшие операции - это проведение отрезков, окружностей и нахождение точек их пересечения. Затем с помощью чертежных инструментов выполняется непосредственное построение фигуры на бумаге или на доске.

Итак, в планиметрии решение задачи на построение имеет как бы две стороны: теоретическую - алгоритм построения - и практическую - реализацию этого алгоритма, например, циркулем и линейкой.

У стереометрической задачи на построение остается лишь одна сторона - теоретическая, так как нет инструментов для построения в пространстве, аналогичных циркулю и линейке.

За основные построения в пространстве принимают те, которые обеспечиваются аксиомами и теоремами о существовании прямых и плоскостей. Это - проведение прямой через две точки, проведение плоскости (предложения п. 1.1 и аксиома 1 п. 1.4), а также построение прямой пересечения любых двух построенных плоскостей (аксиома 2 п. 1.4). Кроме того, мы, естественно, будем считать, что можно выполнять планиметрические построения в уже построенных плоскостях.

Решить задачу на построение в пространстве - это значит указать последовательность основных построений, в результате которых получается нужная фигура. Обычно явно указываются не все основные построения, а делаются ссылки на уже решенные задачи на построение, т.е. на уже доказанные предложения и теоремы о возможности таких построений.

Кроме построений - теорем существования в стереометрии, возможны еще два вида задач, связанных с построениями.

Во-первых, задачи на рисунке или на чертеже. Таковы задачи на сечения многогранников или других тел. Мы не строим на самом деле само сечение, а только изображаем его на

рисунке или чертеже, который у нас уже есть. Такие построения осуществляются как планиметрические с учетом аксиом и теорем стереометрии и правил изображений. Задачи такого типа постоянно решают в черчении и в конструкторской практике.

Во-вторых, задачи на построение на поверхностях тел. Задача: "Построить точки на поверхности куба, удаленные от данной его вершины на данное расстояние" - решается с помощью циркуля (как?). Задача: "Построить точки на поверхности шара, удаленные от данной точки на данное расстояние" - также решается с помощью циркуля (как?). Задачи такого типа решают не на уроках геометрии - их постоянно решает разметчик, разумеется, с точностью, которой позволяют добиться его инструменты. Но, решая такие задачи, он опирается на геометрию.